问题：现给定一个大于1的整数 N，求出小于N 的质数的个数。

例如：

输入 10

输出：4（2,3,5,7）

输入：20

输出： 8（2,3,5,7,11,13,17,19）

以下介绍5种算法，前3种思路一致，主要是效率的差异；

第5种采用了埃拉托斯特尼筛法进行计算（比较巧妙）

算法1：

针对小于N的每个正整数x，我们可以遍历从2到x-1遍历去试除，当出现一个数能被整除，那这个数就不是质数；当然这种方法也是最容易想到的方法，但效率也是最低的方法；

代码如下：

def prime(n):
    m = 0
    for i in range(2, n):
        j = 2
        for j in range(2, i-1):
            if i % j == 0:
                break
        else:
            m += 1
    return m

算法2：

我们可以遍历从2到x/2的数去试除，这样子相对于第一种方法节省了近一半的时间;

代码如下：

def prime(n):
    m = 0
    for i in range(2, n):
        j = 2
        for j in range(2, int(i/2)+1):
            if i % j == 0:
                break
        else:
            m += 1
    return m

算法3：

我们可以针对第二种算法进一步优化，遍历从2到√x；

因为数学的因数都是成对出现的，如果出现一个大于√x的因数，必然有一个小于√x的因数存在，因此我们遍历到√x就可以判定一个数是不是质数；

例如：16,   1*16， 2*8， 4*4；

代码如下：

def prime(n):
    m = 0
    for i in range(2, n):
        j = 2
        for j in range(2, int(i**0.5)+1):
            if i % j == 0:
                break
        else:
            m += 1
    return m

算法4：

对于任意一个大于3的合数（除了1和自身外，还能被其他整数整除的数），我们都可以将其拆分成至少包含一个质数的因子相乘；

例如：8=2 x 4（2是质数），9=3 x 3；

因此，我们可以采用遍历小于这个数的所有质数来确认这个数是不是质数。

代码如下：

def prime(n):
    if n <= 2:
        return 0
    else:
        prime_list = list()
        prime_list.append(2)  # 先将2加入到要遍历的列表中
        for x in range(3, n):
            y = False  
            for y in prime_list:
                if x % y == 0: # 对小于n的x进行遍历，当某个数整除为0时，不执行添加列表操作
                    y = False
                    break
                else:
                    y = True
            if y is True:
                prime_list.append(x)  # 对小于x的质数进行遍历后，没有能整除的质数，则这个数也是质数
        return len(prime_list)

算法5： 埃拉托斯特尼筛法：

从2开始，将每个素数的各个倍数，标记成合数。一个素数的各个倍数，是一个差为此素数本身的等差数列。此为这个筛法和试除法不同的关键之处，前者是先找出所有合数，最后再剔除掉这些合数小于，得到所有素数。后者是逐一尝试每个待测数能否被大于2且小于它的整数整除，直接判断是否为素数。(摘自维基百科)

具体的实现方式：

先留下第一个素数2，将所有2的倍数的合数全部剔除；下一个素数3，将3的倍数的所有合数全部剔除；接着用5进行筛选剔除；当所要使用的素数的平方大于设定值时，停止筛选，则剩下的所有数均为素数。

例如：求出小于120的所有素数，依次使用2,3,5,7进行筛选，当到11时，11*11>120，停止筛选，剩余数即为质数。

这个代码写法非常巧妙，先用列表is_right ，存放n个True，代表小于n的所有数我们先看成质数小于，过程中判断为质数倍数的（也就是合数），用is_right[i]，巧用下标改为Fasle

def prime(n):
    if n <= 2:
        return 0
    is_right = [True] * n
    is_right[1] = False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if is_right[i]:
            for j in range(i * i, n, i):
                is_right[j] = False
    m = 0
    for x in range(2, n):
        if is_right[x]:
            m += 1
    return m